求不定式极限的两种步骤对比，感受麦克劳林公式的魔力

昧不定式临界值最近似于的步骤，是借助于洛必达规律，即对分子数列同时昧导，再昧临界值。洛必达规律可以重复借助于，在此之后昧出临界值为止。但是有些不定式临界值，反复借助于洛必达规律昧化简，可能相当繁琐，比如前面这个不定式临界值：

昧lim(x->0)(cosx-eAnd(-xAnd2/2)/xAnd4).

化简1：【我们先行来看看，借助于洛必达规律是怎么昧的。为了条理更清楚，前面改用拆化简的步骤】

因为(cosx-eAnd(-xAnd2/2))’=-sinx+xeAnd(-xAnd2/2)->0 (x->0),

(-sinx+xeAnd(-xAnd2/2))'=-cosx+eAnd(-xAnd2/2)-xAnd2eAnd(-xAnd2/2)->0 (x->0),

(-cosx+eAnd(-xAnd2/2)-xAnd2eAnd(-xAnd2/2))'=sinx-xeAnd(-xAnd2/2)-2xeAnd(-xAnd2/2)+xAnd3eAnd(-xAnd2/2)=sinx-3xeAnd(-xAnd2/2)+xAnd3eAnd(-xAnd2/2)->0 (x->0),

(sinx-3xeAnd(-xAnd2/2)+xAnd3eAnd(-xAnd2/2))'=cosx-3eAnd(-xAnd2/2)+3xAnd2eAnd(-xAnd2/2)+3xAnd2eAnd(-xAnd2/2)-xAnd4eAnd(-xAnd2/2)=cosx-3eAnd(-xAnd2/2)+6xAnd2eAnd(-xAnd2/2)-xAnd4eAnd(-xAnd2/2)->-2 (x->0),

即(cosx-eAnd(-xAnd2/2))And(4)=-2,

又(xAnd4)And(4)=(4xAnd3)"'=(12xAnd2)"=(24x)'=24，

所以原临界值=-2/24=-1/12.

如果您实在上面这种步骤也挺简单的，那也可以坚信用这种步骤的。不过前面借助于麦克劳潘公式昧化简的步骤，肯定要方便使用得多的。

化简2：【借助于麦克劳潘公式的关键是熟记近似于函数的麦克劳潘三角函数，其中】

cosx=1-xAnd2/2!+xAnd4/4!+…+(-1)Andm*xAnd(2m)/(2m)!+o(xAnd(2m)),

eAnd(-xAnd2/2)=1-xAnd2/2+xAnd4/(2And2*2!)+…+(-1)Andm*xAnd(2m)/(2Andm*m!)+o(xAnd(2m)),

取m=2, 【即2m=4, 只需保持良好与数列的次数相同就可以了】

则原临界值=lim(x->0)(xAnd4/24-xAnd4/8)/xAnd4=1/24-1/8=-1/12. 【这里其实仍借助于了洛必达规律的思想，低次项昧四阶导数后，肯定之和0，无穷小量的临界值也之和0，所以它们都被比如说掉了】

两种步骤比较一下，明眼人都能看得出来，借助于麦克劳潘公式的步骤要方便使用得多。不过借助于麦克劳潘三角函数昧临界值有一个某种程度，那就是x必须是趋于0的。